三道趣题纪念数学游戏大师,那是不可能的任务

第十届马丁•加德纳聚会(3月26日-4月1日)正在亚特兰大举行。马丁•加德纳是美国数学游戏界泰斗,在《科学美国人》杂志上曾开设了20余年的数学游戏专栏。他没有数学博士学位,但是他的谜题让无数读者不止一次燃起对数学的热情。加德纳于 2010 年 5 月 22 日去世,但以他命名的马丁·加德纳聚会仍在继续举办,这个聚会每两年在美国举行一次,与会者与加德纳的兴趣和爱好相同,多是数学家、魔术师和益智游戏爱好者。趁着这个时候,死理性派选择 3 个马丁·加德纳的趣味数学题,让我们一起来看看数学游戏大师的风采吧。

流言: 【微波炉给饭卡充值】首先,拿一张A4纸或者报纸,将饭卡包裹起来,要确保两边都是3层(这个是我试验了几次才摸索出来的),放入微波炉,档位:大火,定时25秒(如果不能定25秒,就自己用秒表掐,一般手机都有这个功能。)然后开机,发射电磁波,电荷累积,金额增加,时间到了请立即关机, 到此,充值成功。

(文/大卫·萨尔兹保)本集录制时心情十分忐忑,我担心每个人都会问特雷门琴如何工作,因为我还没有做功课。如果你有过类似的经历,往下看吧,我能为你分担一些尴尬。

澳门威利斯人手机版 1

真相: 这条国产愚人节段子可能最早在2005年、2006年出现在网络论坛上,起初说的是公交车的IC卡。之后的每年总有那么几天,这条段子会浮出水面,在各大论坛上转来转去。段子版本也变的多种多样,公交卡成了银行卡、食堂饭卡,甚至还有人把微波炉改成了冰箱、电熨斗。

这期节目中,谢耳朵弹奏了他的特雷门琴,这种声音怪诞的电子乐器深受前卫音乐学家的喜爱。无论是弗拉基米尔•伊里奇•列宁还是海滩男孩儿。苏联科学家刚刚发明接近传感器时特雷门琴就送到了列宁手中。

第十届马丁加德纳聚会logo:Gathering for Gardner 10

对于幽默感超强的人类,或是懂一点通信原理的人,这样的谣言完全没有市场。但是对于其他人,这个段子还是有一定的迷惑性。因为在完整版的段子里,首先对IC卡的工作原理进行了描述,所说的环形天线、感应电流神马的都没错,显得很专业的样子。IC的意思是集成电路,手机卡、公交卡、食堂饭卡等很多平时见到的卡都属于IC卡,这些塑料卡中心的芯片相当于一个微型计算机,充值金额信息可以储存在里面的微型存储器里,这些信息也可以进行读写和修改。IC卡有接触式和非接触式两种,手机卡就属于接触式IC卡,依靠连通手机里的电路电流交换信息;公交卡、饭卡则属于后者,讲究的是“距离产生美”,只要把它靠近读卡器(通常几毫米、一两厘米的距离),它就可以通过无线电波与读卡器交换信息。

澳门威利斯人手机版 2

三角决斗的故事

汉密尔顿,普希金,伽罗华三个枪手A、B、C进行决斗,规则不同寻常:三人抽签决定开枪的顺序后,站成一个等边三角形,每人每次只开一枪,以抽签决定的顺序循环往复,直至只剩一人存活下来。每轮开枪的人可以瞄准任何人。虽然都是枪手,他们的命中率却各不相同。汉密尔顿百发百中,普希金命中率是 80%,伽罗华的命中率只有的50%。我们不考虑意外情况(比如子弹没打出去),如果他们三人都采取最佳的策略,那最后谁存活的概率最大?或者说三人幸存的概率分别是多少呢?

解答:

说来你可能不信,最后结果是枪法最差的伽罗华存活的概率最大,汉密尔顿的存活概率比普希金要高。这是因为,如果轮到汉密尔顿或者普希金开枪的时候,他们一定会向对方开枪,而伽罗华的最佳策略是对天开枪,直到汉密尔顿和普希金中的一个倒下(否则如果他射杀了某一个人,另一个人就要朝他开枪,两人都是高命中率,存活几率很小),接下来他可以先对剩下的那个人开枪,因此他最容易存活下来。

不妨让我们来具体计算一下每个枪手的存活概率:汉密尔顿的最容易计算,他和普希金的对决中,先开枪的概率(抽签决定)为 1/2,这时普希金会被杀死;普希金先开枪的概率也是 1/2,而普希金的命中率是 4/5,所以汉密尔顿对普希金幸存的概率是 1/2 + 1/2×(1 - 4/5) = 3/5,这时会轮到伽罗华开枪,如果伽罗华打不中,汉密尔顿会把伽罗华打死,因此,汉密尔顿从伽罗华枪下存活的概率是 1/2,所以汉密尔顿生还的概率是 3/5×1/2 = 3/10。

普希金存活概率的计算要复杂一些,它其实是个无穷级数。从前面的分析我们知道,普希金面对汉密尔顿的幸存概率为 2/5,而幸存后他会对上伽罗华,伽罗华打不中他的概率是

编码调制:语言不通,沟通不能

微波炉产生的微波也是无线电波,但是和IC卡所使用的无线电波还是有着巨大的鸿沟。首先体现在频率上,公交卡、饭卡与读卡器之间交换信息时通常用的无线电波频率是13.56MHZ左右,家用微波炉一般使用的频率是2450MHz左右。不过,考虑到微波炉内也会产生少量其他波段的电磁波,而微波炉的功率很大,一张IC卡工作需要的无线电波功率却很小,“大火”微波炉内部还是可能存在合适频率的无线电波让IC卡天线激发出电流而工作的。

不过,能激发出电流工作并不等同于能进行信息传输。为了完成“让公交卡里增值10元”这个命令,读卡器和公交IC卡之间需要相互传递和接收信息,完成一次完整的通信过程,这里面说道就多了。首先要遵循特定的通信协议。读卡器和IC卡之间通常使用的一个协议叫ISO/IEC 14443(可不是ISOxxxx国际质量认证),对读卡器应该把信息表示成怎么样的数据形式(编码),以及怎么把数据具体加载到无线电波上(调制)都做了相应的规定。读卡器即使向IC卡一条最简单的信息,也要准守协议里面每一条规定,出一点错,信息就不能被IC卡正确接收。微波炉的本职工作只负责煮熟食物,不会说IC卡小萝莉可以理解的语言。让微波炉大叔用无线电波传递信息实在是太难为人家了,简直就是不可能的任务。

列宁和谢耳朵一样热爱特雷门琴。

1/2,而普希金打中伽罗华的概率是 4/5,因此这时普希金存活的概率为 1/2×4/5

4/10,但是如果普希金没打中,这样伽罗华会获得第二次机会,普希金第二轮对上伽罗华的时候幸存概率为 1/2×1/5×1/2×4/5 = 4/100,以此类推,第三轮(如果有的话)普希金的存活概率为 4/1000,第四轮的时候为 4/10000……最终这个无穷级数的和为 4/10 + 4/100 + 4/1000 + 4/10000 + … = 4/9。所以普希金对伽罗华的幸存概率为 4/9,乘以之前他从汉密尔顿枪下生还的概率 2/5,普希金的生还概率为 2/5×4/9 = 8/45。

伽罗华的分析过程与普希金类似,或者用 1 减去汉密尔顿和普希金生还的概率,我们可以算出,他生还的概率为 47/90。 47/90 > 3/10 > 8/45,所以这场决斗枪法最差的伽罗华最可能获胜,其次是汉密尔顿,最后是普希金。不过更有意思的是,如果伽罗华没有那么明智,每轮都朝他认为的最危险的对手,百发百中的汉密尔顿射击,最终幸存的概率依然是三人中最高的,为 44.772%。但如此以来,另外两人的存活率就调了过来,普希金的幸存概率提升到了31.111%,百发百中的汉密尔顿幸存概率只有24.167%。或许现实中也是如此,高手总是死在笨蛋手里。

加密:说话太绕,理解困难

按照正确的方式编码和调制对于微波炉来说是压力很大,但是对于伪造读卡器、IC卡的人来说,还不算难事。因为那些通信标准和通信协议都是公开的,他们可以使用通信射频电路制造出相应的读卡器来与IC卡交换信息。可是,就算IC卡能理解假读卡器说的话,IC卡并不一定会按假读卡器的要求增值减值。

读卡器与IC卡之间不可能的对话:

读卡器:你丫的把余额从20增加到30。

IC卡:好滴。

 

实际的情况是这样:

IC卡:你是谁?

读卡器:俺是805路公交车的读卡器。

…………

IC卡:&*@#^&^#@

读卡器:&$#*@&*%&*@#%&@%&)~*%!

 

在完成增值减值的操作之前,读卡器和IC之间要互相对暗号,经过三次验证,公交卡确定与它交换信息的是XX路的公交车的读卡器,读卡器确定与它交换信息的是XX乘客的公交卡,而且读卡器和IC卡之间说的对话还是加密的。加密的方式称为DES和RES保密交叉算法,具有很高的保密性能。此外,卡里含有金额信息的存储器也有密码,密码对不上就甭想改里面的数值。如此多番加密,保证了IC卡的安全性。广大的卡类破解狂们的失败大都是栽在了加密这一项上。

另外,对于有的IC卡,里面并没有储存余额信息,只储存了使用者的姓名信息,余额信息储存在读卡器那一端,然后所有的读卡器联网在一起。在这种情况下,在卡上下功夫就更不可能实现充值的目标了。

由于这条谣言流传已久,不少实验党早已一试身手,不过最后结果大都是这样:IC卡放进微波炉几秒钟的时间以后,里面就打起火,迅速关掉微波炉后发现,纸和IC卡都烧煳了,塑料也变形了,在公交车上一试,不能用鸟。什么?没见识过。谣言粉碎机贴心地献上这段 “充值真相”

 

看看,献身的公交卡结局都很惨烈。

澳门威利斯人手机版 3

结论:谣言破解。 一张几元钱的IC卡里其实包含了几十年来许多IT理工男女的发明成果,要经过严格的一系列程序才能改动里面的金额,单靠微波炉一台是远远无法完成这项工作的。其实只要想想,如果这么简单就能充值,公交公司还会用这种卡吗?

完整版流言: 【低级谣言求粉碎】用微波炉充饭卡

 

关于这个流言的更多讨论,请见流言百科条目《微波炉可以给磁卡充值》。

特雷门琴的奥妙在于“振荡电路”。传统的特雷门琴中通常能找到一个连接两块金属板的线圈。这种线圈有时被称为“轭流线圈”,因为它可以阻止变化很快(“高频”)信号的通过。而两个金属片结合形成电容,它们允许快速信号通过并充电,而会被变化缓慢的信号很快(“低频”)耗尽。平行板的作用正好与线圈相反,一个阻低频,一个阻高频。两者组合形成的电路只允许很窄范围的频率通过。电路中的能量以最简

额头上的数字

澳门威利斯人手机版 4

图片来源:parallelozero.com

教授有两个学生 A 和 B,他们都很诚实且有很强的推理能力。教授挑选了一对连续的正整数分别贴在他们的头上,两位学生可以看见彼此额头上的数字,但并不知道自己额头上的数字。教授开始不断问学生:现在你们知道自己额头上的数是多少了么?这样轮流不断的问,直至有人说“知道”为止。只过了一会儿,一个学生就回答“我知道了”。你明白他是怎样推断出来的么?

解答:

如果这一对连续的正整数中较大的数是 n,那么有一个学生会在教授的第 n 次或者第n-1次提问中回答“知道”(取决于教授先问哪个学生)。

我们利用数学归纳法来简单分析一下,首先从最简单的 1 和 2 开始,头上数字是 2 的人将在第 1 次或第 2 次提问的时候回答“知道”(如果他先被提问则是在第一次提问时回答,如果后被提问则是在第二次提问时回答),因为看到对方贴着1后,他会知道自己头上的一定是 2。

现在考虑 2 和 3 的情况。当第一次向贴着 3 的人提问时,他会说不知道,因为他看到对方是2时,自己头上的数字可能是1也可能是3。如果他是 1,这时他回答不知道后,贴着2的人就会知道自己是 2。但是他是3,所以轮到问贴着 2 的人回答不知道后(不清楚自己是 2 还是 4),第一个人就知道了自己贴的是 3,因此第二次向贴着 3 的人提问时,他将回答知道。

于是我们可以像这样继续推理,逐步推广到任何一对连续数字的情况。

对于这个问题,普林斯顿的数学教授 John Conway 有一个更加迷惑人的扩展。他将 n 个人头上贴上 n 个数字,这 n 个数字可以是任何一组非负整数,Conway又在一块黑板上写了一组数,这组数的个数小于或等于 n,且它们彼此不同,其中的一个数和之前贴在额头上的 n 个数字之和相等。假设参加者都是死理性派且很诚实,每人除了看不到自己额头上的数字,都能看到其他 n-1 个人额头上的数和黑板上全部的数。Conway向第一个人提问,问他能不能推断出自己额头上的数,如果他说不能,则接着问第二个人,如此循环往复,知道有人说知道为止。这个问题最终也会有人回答知道,实际上这个问题也可以用数学归纳法分析出来,有兴趣的读者可以自己试一试。

计算的速率在电容电荷和电感电流间震荡。

爱恨分明

澳门威利斯人手机版 5

图片来源:danlew.com

有人的地方就有江湖,有人的地方就有爱恨。有这样 6 个物理学家,他们组成了一个特殊的小团体。在这个团体中,任何两人不是好友就是仇敌,并且团体中也没有彼此都为好友的 3 个成员。那么你能推断出他们中一定有 3 个成员彼此互为仇敌吗?

解答:

学过图论的同学对这题一定不陌生,这算得上一个经典的图论问题了。我们用六个小黑点 ABCDEF 来分别代表 6 个物理学家,再在各个黑点之间两两连上虚线。如果两个人互为好友,那么我们将代表他们的点之间的连接虚线涂成红色,如果互为仇敌,则把虚线涂成蓝色。则按照题意,没有3个人互为好友,则我们的图中不能出现 3 条边全为红色的三角形。而我们最终要证明,有3人互为仇敌,则图中一定有 3 条边全为蓝色的三角形。

不妨从 A 点开始说起, A 点与其他 5 个点有 5 条连接虚线,按照敌友原则对虚线涂上颜色后,至少有3条虚线的颜色是一样的,是什么颜色并不重要,是哪 3 条虚线也不重要。我们首先考虑是红色的情况:假定AB,AC,AD这3条虚线都是红色的,那么对于 △BCD,如果 BC、CD、DB 这三条边中有一条为红色,不妨设为 BC,那么 △ABC 的三条边均为红色,这与题意是矛盾的。同理,CD、DB也不能为红色。故而 △BCD 的三条边都只能涂成蓝色,这样 B、C、D 三个点代表的物理学家则为仇敌。接下来考虑AB、AC、AD这 3 条虚线都是蓝色的情况,对于 △BCD,因为不存在 3 条边均为红色的三角形,因此 BC、CD、DB 中一定有一条边是蓝色,不妨设为 BC,这样 △ABC 的三条边均为蓝色。

澳门威利斯人手机版 6

所以无论最初选的三条边是红色还是蓝色,我们一定可以在图中找到一个蓝色的三角形,它表示三个物理学家互为仇敌。

这个题目还有一个更加强的结论,如果图中没有 3 条边全是红色的三角形,那么一定会存在两个 3 条边全是蓝色的三角形。也就是说,这个 6 人小团体中,如果没有 3 个物理学家互为好友,则一定有 2 组 3 个物理学家互为仇敌的情况。这个结论的证明比上述的要略微复杂一点,脑力充沛的同学可以自己试试。

数学游戏就讲到这里,马丁•加德纳本人并不是一个数学家,他自己也在书里说过“如果要说我的书有什么意图,那就是引发大众对数学的兴趣。如果可以帮助外行人了解科学家们在做些什么的话,那么这种激励无疑是有必要的。真正的科学家还有更多的事情要忙呢”。他一生写过 50 本以上科普著作,把数学的趣味展现的淋漓尽致。

感谢马丁•加德纳,给我们带来不一样的数学之旅。

参考资料:

[1] 《科学美国人,趣味数学集锦》

[2] 《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》

振荡电路的特定频率取决于平行板储存电荷能力的值(它的“电容”)和线圈阻止自身电流变化的能力(有些晦涩地称为“电感”)。每个人的身体都有电感和电容。如果我们把振荡电路与天线连接,那么移动手在天线附近的位置就可以改变谐振频率,原理是我们把自身电容和电感加入电路改变了它的频率。

澳门威利斯人手机版 7

在弹奏古典特雷门琴时,我们不直接控制声音频率。人耳每秒只能听到数千次振动,这对电子设备来说相当缓慢。制造高频率的电子设备更容易。所以,特雷门琴的设计者使用了数学技巧。因为分辨不同频率的信号相对简单,所以比较两个震荡电路,一个用手改变,一个不加干涉,它们频率差被送到特雷门扬声器。

本文由澳门威利斯人手机版发布于澳门威利斯人手机版,转载请注明出处:三道趣题纪念数学游戏大师,那是不可能的任务

TAG标签:
Ctrl+D 将本页面保存为书签,全面了解最新资讯,方便快捷。