需要多少个起始数,另一个地球

大到数独比赛,小到手机上的一个APP,自从诞生以来,数独已经风靡了大半个地球。数独的规则很简单,一个9x9的方格里有一些起始数字,剩下的都是空白。你需要做的是利用纸上已有数字的提示,在空格中填上1-9这些数字。填写的要求只有一条:每一个3x3的九宫格里和每一条横线、竖线上,从这9个数字必须出现而且仅可以出现一次。现有的数独软件可以让你自由选择难度,新手难度一开始提供的起始数字较多,给你的提示也多,而魔鬼难度则需要你绞尽脑汁从极少的起始数字中推理并填满剩下大片的空白。

图片 1NASA召开发布会,宣布发现了所谓的“另一个地球”,也就是开普勒452b。这是地球与开普勒452b的对比图,不过需要指出的一点是,右侧这颗行星的形象,只是艺术家想象中开普勒452b的模样。图片来源:NASA/JPL-Caltech/T. Pyle

最近那个争议很激烈的鹦鹉案子想必很多人都知道。当事人饲养繁殖出售了几十只鹦鹉,结果面临5年的牢狱之灾,乍听起来似乎是一出“葫芦僧乱判葫芦案”。不过,国内目前的野生动物保护法陈旧落后,不区分累代人工繁殖个体乃至变异品系,也没有给予一些国内真正需要保护的野生动物应有的保护,这是事实;而当事人私自繁殖交易受保护的鹦鹉种类触犯了现有法律也是事实。

对于这么一个数字游戏,数学家们自然也产生了浓厚的兴趣。然而数学家毕竟是数学家,在玩数独的同时,他们想到了一个问题——我们至少需要多少的起始数字,才能完成一个数独,且保证答案是唯一的呢?

7月23日下午,一条消息在微博上流传:“NASA今晚12点将发布重大消息,暗示或发现另一个地球。”7月24日零点,NASA如期召开新闻发布会,宣布发现开普勒452b(参见科学人文章《NASA发现的“另一个地球”,并非第二家园!》)。那么,关于这颗备受关注的太阳系外行星,我们都确切知道些什么,又有哪些是我们还无法确定的呢?

图片 2当事人妻子发布的喊冤微博。(图片来源:微博)

“答案是17个”。今年1月1日,爱尔兰都柏林大学的麦奎尔(Gary McGuire)教授在网上贴出了他的 回答 。他的这个答案迅速获得了其他科学家的回应。即将出版新书《认真看数独:世界最受欢迎纸面游戏背后的数学》的作者罗森豪斯(Jason Rosenhouse)就是其中一位:“他的尝试是合理可信的,我对此表示谨慎乐观”。

1、在哪个星座?

这颗行星由开普勒空间望远镜发现。在为期4年的任务期间,开普勒望远镜始终盯着天鹅座附近的一小块天区持续观测。新发现的这颗行星,就位于开普勒的观测视场之内,属于天鹅座。

图片 3开普勒空间望远镜,以及它连续观测了4年的天区。图片来源:space.com

其他的不提,当事人交易持有的非洲灰鹦鹉在去年已经从CITES附录2提升到附录1。现在灰鹦鹉的国际贸易已经被禁止,而国外也不像微博上一些人声称的那样“本国内可以自由饲养”。对于附录1的物种,就算在欧美也需要持有相关证明才能展示、繁殖和交易,手续相当繁杂严格,而普通的饲主也需要在相关机构注册登记。

要直接证明至少需要17个起始数字才能解出一个数独,在数学上还是比较困难。麦奎尔教授用了一个间接的方法:证明所有只有16个起始数字的数独不存在唯一的解。然而即便是用这种方法,依然有3.4乘以10的26次方种组合等待着分析。为了进一步降低需要的计算量,麦奎尔教授引入了一个“不可避免的组合”的概念。如下图所示,红色的5和9可以互相交换位置而产生两个不同的解。为了让这个数独的答案唯一,这四个数字里必须有一个数字是起始数字,这样我们才能限定出5和9的最终位置。而这4个数字也被称为一个不可避免的组合。

2、有多远?

开普勒452b绕着一颗类似于太阳的恒星旋转,距离地球大约1400光年。如果按照新视野号探测器飞掠冥王星的速度,也就是14千米/秒的速度飞向这颗行星,大约需要3000万年才能抵达那里。不过,考虑到新视野号在远离太阳的过程中,速度还会进一步减慢,因此实际需要的时间只会更长才对。当然,新视野号并没有飞向开普勒452b的方向,因此永远不可能飞到那里。

3、能看到吗?

不要说这颗行星,就连它绕着旋转的那颗恒星,我们在地球上都无法用肉眼看到,哪怕是在观星环境最好的地方。开普勒望远镜监测的绝大部分恒星,亮度都在14-16星等之间,跟地球上看到的冥王星亮度差不多。事实上,就算使用地球上威力最大的望远镜,天文学家也不可能直接看到这颗行星,更不用说看清楚它的模样了。

图片 4行星凌星示意图。图片来源:sun.org

关于这件案子的判决是否合适,网上口水仗已经够多了,不准备在这里讨论。我只想借这个契机说一说很多人有的一种想法:如果一个物种可以人工繁殖,那就可以放开当宠物养/当食物吃/做药材等等,不会影响到野生种群了。

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4、怎么发现的?

开普勒452b绕着一颗恒星旋转,每转一圈就会恰好从恒星前方经过一次,遮挡住那颗恒星射向地球的一部分星光。于是在地球上看起来,这颗恒星的亮度每隔一段时间就会短时间内突然变暗一些。这种现象被称为凌星。如果周期性地出现恒星短时间变暗的现象,可能就意味着这颗恒星的周边存在这样一颗行星。这也是开普勒望远镜寻找太阳系外行星的主要方法。

先说说和这个案件有关的灰鹦鹉。灰鹦鹉是可以人工繁殖的,然而它们的野生种群状况如何呢?

在确立了所有的必须回应的组合后,计算量终于锐减到了可操作的地步。在都柏林的计算机中心,所有参与计算的CPU总共花费了700万个小时,才计算出结果——如果只给出16个起始数字,那么并不存在一个只有唯一解的数独。“唯一现实的方法就是暴力流。”澳大利亚西澳大利亚大学的数学家 罗伊尔(Gordon Royle)这样评论,“这个挑战性的问题让人们把计算的能力和数学的技巧发挥到了极限,这就像是在攀登最高耸的山峰。”

5、有多大?

行星越大,凌星时遮挡的星光就越多,反之亦然。因此,准确测量凌星时恒星亮度的变暗幅度,就能够精确测定行星和恒星的相对大小。而恒星的大小,能够通过精确的恒星模型加以推断。于是,天文学家即便根本看不到这颗行星,也能够通过凌星观测,测出开普勒452b的直径要比地球大60%。这是天文学家唯一能够确定的、有关这颗行星本身的参数。至于其他重要参数,比如它的质量有多少,由什么物质构成,气温多少度,天文学家现在都还一概不知。

1994年到2003年间,每年被捕捉的野生灰鹦鹉多达同时期野外种群的21%,大约三分之二被捕捉的灰鹦鹉会在送到市场之前死亡。在被大量捕捉和栖息地丧失的双重压力下,灰鹦鹉的种群急剧缩小,终于在去年被列入附录1,国际贸易完全禁止,在本国繁育售卖需要持证。

由于计算花费的时间过长(从2011年1月到2011年12月不间断地运行),所以其他人想要验算的话也需要一定的时间。上文中提到的《认真看数独》一书的另一名作者陶奥尔曼(Laura Taalman)可能对这样的结果不大满意。她的新书上周才出版,但在她看来,书中的一些内容或许已经过时了。书中表示,需要几个起始数字才能解开一个数独?这还是一个未决的问题,而解答者无疑将成为数独界的摇滚巨星。

6、是岩石星球吗?

在我们的太阳系里,行星明显分成两类:一类跟我们地球一样,主要由岩石构成;另一类则比地球大得多,主要由气体构成。然而,对于直径比地球大、又大不太多的开普勒452b,天文学家就无法准确判断了。根据发现者的合理“猜测”,开普勒452b有很大的可能性是一颗岩石星球。然而,美国加州理工的天文学家莱斯利·A·罗杰斯(Leslie A. Rogers)今年在《天体物理学报》上发表过一项研究,对大量已知大小和质量的太阳系外行星进行了统计,证明绝大多数像开普勒452b一样大小的行星都不是岩石星球,[1]。因此,现在不能肯定它就是一颗岩石星球。

图片 6开普勒452b距离它的“太阳”要比地球距离太阳稍远一些,但仍位于宜居带内。图片来源:NASA/JPL-CalTech/R. Hurt

图片 7死在走私途中的非洲灰鹦鹉。(图片来源:wakkori93.blogspot.com)

除了用来做数独以外, 麦奎尔教授认为他的研究成果在其他领域也有其价值。他为了证明数独问题而提出的“不可避免的组合”概念也在一些已发表的基因测序以及细胞内调控网络的论文中有所应用,而他也希望他的算法可以由其他研究者发扬光大。“希望(这个算法)可以激起更多的兴趣”,麦奎尔教授这样说。

7、有生命吗?

确切地说,没人知道那里有没有生命,哪怕是天文学家。根据凌星出现的时间间隔,天文学家确实能够准确测定开普勒452b的公转周期——那里的一年相当于地球上的385天。据此,天文学家能够计算它到恒星的距离,恰好位于所谓的“宜居带”内。换句话说,开普勒452b和地球一样,距离各自的太阳不远不近,不至于天寒地冻水凝成冰,也不至于天燥地热水蒸成气。然而,一颗星球就算处在宜居带内,也不能保证就一定有水能够在表面流淌,月亮就是一个反面例证。更何况,就算真的有水,离出现生命也还差着十万八千里呢!

明明可以人工繁殖,为什么野生种群依然遭到大量捕捉?因为宠物贸易和其他商业活动一样都是逐利的。灰鹦鹉饲养繁殖并不容易,需要耗费的成本远大于捕捉贩卖野生个体,自然有很多贩子争先恐后地从非洲捕捉了。

麦奎尔教授自嘲说,当他投入那么多时间去解答这个数独难题时,他闲暇时玩数独的时间却越来越少了。“数独对我来说依旧是一种很好的放松方式,但老实说,我现在更喜欢做小强填字游戏了”。

8、最像地球吗?

开普勒452b不能说是最像地球的太阳系外行星。举例来说,2014年宣布发现的开普勒186f,半径是地球的1.17倍。而今年年初宣布发现的开普勒438b,半径更是只有地球的1.12倍。这两颗行星都处在各自恒星的宜居带内,也都比开普勒452b更接近于地球的大小。只不过,那两颗行星所环绕的恒星,都要比太阳小得多,也暗得多。而开普勒452b所环绕的恒星,却非常类似于太阳,只比太阳重4%,大10%,亮20%,连表面温度都一模一样。因此,如果把恒星也考虑进来的话,开普勒452b就当仁不让,确实称得上是“另一个地球”,只不过它本身还是不太像地球罢了。

图片 8这些是目前已知与地球类似的宜居行星,从左往右分别是:开普勒22b、开普勒69c、新发现的开普勒452b、开普勒62f、开普勒186f,以及地球。图片来源:NASA/Ames/JPL-Caltech

很多其他鹦鹉都和灰鹦鹉一样,饱受偷猎和走私残害。虽然国内鹦鹉饲主喜欢把鹦鹉戏称为鸡,但如果繁殖鹦鹉的难度和投入真和鸡差不多,那人工饲养倒是可以完全代替野外捕捉了。

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